例谈“不定方程整数解个数”模型应用

例谈“不定方程整数解个数”模型应用

浙江省绍兴县柯桥中学(312030)陈冬良

在排列组合中，我们利用挡板法可以得到方程x1+x2+x3+…+xk=n (n为正整数)的正整数

k 1解个数为Cn 1;这一知识点在各类联赛或各省市的预赛中正频繁的出现，的确此模型的应用

较广泛、灵活，特别是从一般试题中挖掘出此类命题的“庐山真面目”需有较强的功底。下面选取几例典型的试题供参考。

一．模型的直接应用

例1.（2010全国联赛） 方程x y z 2010满足x y z 的正整数解（x,y,z）的个数是 _______ .

2解：首先易知x y z 2010的正整数解的个数为 C2009 2009 1004

把x y z 2010满足x y z 的正整数解分为三类：

（1）x, y, z均相等的正整数解的个数显然为1；

（2）x, y, z中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；

(3)设x, y, z两两均不相等的正整数解为k .易知 1 3 1003 6k 2009×1004， 6k 2009×1004 3×1003 1解得k 335671. 从而满足x y z 的正整数解的个数为1 1003 335671 336675

例2. (04全国联赛)一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2，则算过关。问：

（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？

（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？

（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）

解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。

（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而6 4 2,6 5 2，因此，当n 5时，n次出现的点数之和大于2已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4关。 nn45（Ⅱ）设事件An为“第n关过关失败”，则对立事件An为“第n关过关成功”。 第n关游戏中，基本事件总数为6个。

第1关：事件A， 1所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况）n

过此关的概率为：P(A1) 1 P(A1) 1 22 。 63

第2关：事件A2所含基本事件数为方程x y a当a分别取2，3，4时的正整数解组数之和。即有C1 C2 C3 1 2 3 6（个）。 111

过此关的概率为：P(A2) 1 P(A2) 1 65 。 626 第3关：事件A3所含基本事件为方程x y z a当a分别取3，4，5，6，7，8时的正整

222222数解组数之和。即有C2。 C3 C4 C5 C6 C7 1 3 6 10 15 21 56（个）

过此关的概率为：P(A3) 1 P(A3) 1 5620 。 6327

2520100 故连过前三关的概率为：P(A1) P(A2) P(A3) 。 3627243

二.模型的等价转化

若研究方程x1+x2+x3+…+xk=n (且x1≥1,x2≥2,…,xk≥k,)的正整数解的问题？换元法：令yk xk (k 1),则转化为y1+y2+y3+…+yk=n-(1+2+3+…+k-1),又转为求正整数解的个数问题. 若研究方程x1+x2+x3+…+xk=n (n为正整数) 非负整数解个数问题，可令yk xk 1,

k 1n则转化为y1+y2+y3+…+yk=n+k的正整数解的个数问题为Cn k 1(或Cn k 1).

例3.(05全国联赛)若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3 ，若an=2005，则a5n=______。

m解： 方程x1+x2+x3+…+xk=m的非负整数解的个数为Cm,xi 0(i 2) k 1,而使x1 1

m 16的整数解个数为Cm k 2,现取m=7，可知k位“吉祥数”的个数为P(k)=Ck 5. 2005是形666如2abc的数中最小的一个“吉祥数”，且P（1）=C6P（2）=C7P（3）=C8 1， 7， 28，

对于四位“吉祥数” 1abc，其个数为满足a+b+c=6的非负整数解的个数，即6，即a65=2005,5n=325.又P（4）C6 3 1 28, 2005是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”

5

=C 84，P（5）=C6

9610 210，而 P(k) 330, 从大到小最后六个五位“吉祥数”

k 1

是：70000，61000，60100，60010，60001，52000. 第325个“吉祥数”是52000,即a5n=52000.

例4. (05浙江省预赛)在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？

解：设20个岗位按先后排序为1，2，， ，20，且设第k种新式武器设置的序号为ak (k 1,2,3,4,5)。令x1 a1，x2 a2 a1，x3 a3 a2，x4 a4 a3，x5 a5 a4，

x6 20 a5，则有x1 x2 x3 x4 x5 x6 20 其中2 xk 5(k 1,2,3,4,5)，1 x6 4。

作代换 yk xk 1(k 1,2,3,4,5)，y6 x6，从而有 y1 y2 y3 y4 y5 y6 15 其中1 yk 4(k 1,2,3,4,5,6)。

设I为y1 y2 y3 y4 y5 y6 15的正整数解的全体，Ak为I中yk满足yk 4的解的全体。则

A

k 16k I Ak I Ak AjAk k 1k 1j k66

上式成立的原因是AiAjAk ，因为没有同时满足yi 4，yj 4，yk 4的

6 yk 16k 15

的正整数组。所以 A

k 1k5525 C14 6C10 C6C6 2002 1512 90 580.

因为5种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列数，所以配备新式武器的方案数等于

580 5! 69600。

三．活用挡扳法

有时研究问题可能要考虑需要几块挡扳，我们可以把其转化为两个原理（加法原理与乘法原理）解决。

例5.小明有10颗糖（不可辨），每天至少吃一颗，直至吃完，那么有多少种吃法？ 解：问题正面分类，考虑分几天吃，问题转化为10个方程的正整数解的个数问题，答01239案为C9 C9 C9 C9 C9 2n.转化考虑方式，即10颗糖排成一列，每两颗之间加一挡扳，则分为两天，不加挡扳即在一天吃完。因此问题转化为九个间隔位置上是否加挡扳。即吃法有N=29。