概率论与数理统计清华大学：第2章习题解(1-21)

王金萍等主编

作业4、5 P42.1【解】

设：汽车驶向目的地，途径的路口分为A、B、C(都有红绿灯)，首次停下时，通过的路口数为X个. 于是X=0,1,2,3；这是由于

{X=0}=“在A路口就遇红灯，停下”， {X=1}=“在B路口才遇红灯，停下”， {X=2}=“在C路口才遇红灯，停下”， {X=3}=“一路绿灯直达目的地”.又设A、B、C也表示A、B、C路口绿灯的事件，、 、 表示路口红灯的事件.

121P（X=0）=P( )= ,P(X=1)=P（A）= ，

333

221

P（X=2）=P（ ）= ，

333

2

P（X=3）= P（ABC ）= ，综上

3

3

王金萍等主编

P43.2【解】首先，X=1,2,3（不可能取4或5，因为任意取出的3个球中至少要有1、2、3号码之一）；其次，用古典概率的方法即可求出相应的概率：5个球任取3个，方法总数

3C5=10种方法 .{X=1}对应的基本事件数目可用“树图”的

方法数出：

所求：

P43.3【解】

P（X=n）=P（“前n-1次未投中，第n次才投中”）=0.6n=1,2，……

n 1

×0.4

王金萍等主编

c

（1） 由P{X=k}=,k=0,1,3,5.

k+1

11112c (1+++)=1 c= ；

24623P{X<3,X≠1}（2）P{X<3X≠1}=

P{X≠1}P{X=0}12

= = P({X=0}∪{X=3}∪{X=5})17

P43.5【解】

注意到，每次抽检中发生的事件“全正品”的概率=0.9 ，

10

（A）=1-0.9 故每次抽检中发生事件A=“有次品”的概率P

每天独立检验5次，相当于5次独立重复试验；事件A发生 的次数X就是调整设备的次数X.显然X～B（5,1-0.9）即P{X=k}=C（（0.9），k=0,1,2,3,4,5 51-0.9）×P43.6【解】

对5个加油站的观察是5次独立重复试验：每次试验的内容是观察事件A=“加油站被使用”发生否.P（A）=0.2，n=5，

k

10k

105-k

10

10

（5,0.2） ，故 即被使用的加油站个数X～B

P（X=k）=C5k0.2k0.85-k，k=0,1,2,3,4,5.

（1）P（X=2）=0.2048

（2）所求P=P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=0.05792 （3）所求P=1-P（X=4）-P（X=5）=0.99328

王金萍等主编

每道选择题仅靠猜测答对的可能性=1/4,对5道题的5次猜测是5次独立重复试验（试验内容是看“猜中”这一个事件是 ，即 否发生），故猜中的题目数X～B（5,0.25）

k

P（X=k）=C50.25k 0.755-k，k=0,1,2,3,4,5

53

=P（“靠猜测答对至少3道题”）=∑P（X=k）512k=3

k=1时，概率P（X=k）最=C50.25 0.75（k=0,1,2,3,4,5）大=0.396 最可能答对的题数为1道题. P43.8【解】

由题意，X～P（λ） 即P{X=k}=又

根

据

已

知

k

k

5-k

5

λk

λ

e-（k=0,1,2， ），k！

P{X=1}=P{X=2} ，可得

P{X=1}=λe-λ=

λ2

2

e-λ=P{X=2} λ=2

2k-24e-2

P{X=k}=e，（k=0,1,2， ） ；P{X=5}=.

k！15

P43.9【解】

（0-1） : （1）X～

X

1

P 1-p p

王金萍等主编

(2)第1题分布即

X

0 1 2 3

P0.33 0.22 0.15 0.30

（ 0，x∈

-∞，0）0.33，xF(x)= ∈[0,1)分布函数

0.55,x∈[1,2)

0.70,x∈[2,3) 1,x∈[3,∞）

P{X≤2}=F(2)=0.70

，

王金萍等主编

111P≤X≤3}=F（3）-F（+P{X= =0.67（=2/3）. 222

P43.10【解】

1△ =X 4×(X+2)≥0 X≤ 1或X≥2 ，故

4

2

P{所述方程有实根}=

P({X≤ 1}∪{X≥2})=P{X≤ 1}+P{X≥2}=F( 1)+(1 P{X<2})=F( 1)+1 F(2)421

=0+1 =(答)

2525

P43.11【解】

所给分布函数F（x）其图像为阶梯形，间断点就是X的取值点，该处的“跃度”即X的分布概率，由此得X的分布律：

X

-1 1 4

P 0.3 0.5 0.2

王金萍等主编

P43.12【解】 （1）、（2）：

F( ∞)=0 A=0;

又，F(x)处处连续 F(1-0)=F(1),

3

即B=C-；再者:F'(x)=f(x) 密度函数

2

2Bx,x∈(0,1)22

x 2

[f(x)= C x,x∈[1,2) 1=∫f(x)dx Bx21+Cx 01

20 0,其他x

51综上，， B+C=;A=0B=，C=2.22

1

（4）-F(1)=. （3）P{1≤X<4}=F

2

P43.13【解】(1)

∞

π

1=

∞

∫

f(x)dx=A

π∫cosxdx

=Asinx

2

π

=2A

1

A=;

2

x

F(x)=

∞

∫

0,x<2 x

1

f(t)dt= ∫costdt, 2≤x≤

22

>1,x 2

2

0,x<2

1 1

= sinx+,≤x≤

2 2

>1,x 2

王金萍等主编

(2)

P43.14【解】（1）所求应是

P{X<200hX≥150h}P{X≥150h,X<200h}

==

P{X≥150h}1001200

∫1502dt1501=∞==.

1001∞4dt150∫150t2

t

200

∫∫

200

150∞150

f(t)dtf(t)dt

（2） 元件使用150h后损坏，意味其寿命X≤150概率

P{X≤150}=∫

150

∞

100

f(t)dt=∫dt

100t2

150

1001001

又，三个独立元件中，寿命在=; 150h150=3t

以下的个数K～B（3，1/3）.1224

（K=1）（（= 所求=P=C××

339

1

3

王金萍等主编

P43.15【解】

设旅客到达车站时刻为X=0,旅客候车时间为X.则X服从

（0,8）.即概率密度为 均匀分布:X～U

1

（0,8] ，x∈

（ fx）= 8

0,其他

所求为P{0<X<5}=

∫

5

15

fx）dx=∫=（ 088

5

P43.16【解】

θe-θx，x>0

X的概率密度X～Exp（θ）， （= fx）

0,其他

其中,θ=1/2.故有 (1)

P{X>2}=∫

∞

2

1 x2

edx=e 1 2

(2) 根据指数分布(教材P35)的无记忆性,有

P{X>s+tX>s}=P{X>t}

P{X≥10X≥8}=P{X≥8+2X≥8}=P{X≥2} =e-1 （见（1））

P44.17【解】

X～N(3,2) μ=3，σ=2,故

2

王金萍等主编

(1)

5 32 3

P{2<X≤5}=Φ() Φ(=Φ(1) Φ( 0.5)

22

=Φ(1) [1 Φ(0.5)]=0.5328

(2)

P{X>c}=P{X≤c},在μ=3的正态分布中，c正是μ=3

(3)

d-3d-3

P{X>d}≥0.9 1-Φ（≥0.9 Φ（≤0.1，

22

-1

但数表上查不到Φ（0.1）！为此用“补数”

3-d3-d3-d-1

≤0.1 Φ（≥0.9 ≥Φ（=1.281-Φ（0.9）222

d≤0.436

P44.18【解】（1）

X～N（μ，σ2），P{X≤70}=0.5

70 μ70 μ 1

Φ()=0.5 =Φ(0.5)=0 …… 此处隐藏：2415字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……