2010届高三数学一轮复习必备精品：圆锥曲线方程及性质

圆锥曲线学案,个人整理

2009~2010学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料

第33讲 圆锥曲线方程及性质

一．【课标要求】

1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；

3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质

二．【命题走向】

本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法

对于本讲内容来讲，预测2010年：

（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；

（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。

三．【要点精讲】

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|MF1| |MF2| 2a

（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中a,b的大小a b 0，其中c a b； ②在

2

2

2

2

x

22

a

yb

22

（a b 0）（焦点在x轴上）或 1

ya

22

xb

22

（a b 0） 1

xa

22

2

yb

22

1和

ya

22

xb

22

1两个方程中都有a b 0的条件，要分清焦点的位置，

x

2

只要看x和y的分母的大小。例如椭圆

m

y

2

n

1（m 0，n 0，m n）当m n时

表示焦点在x轴上的椭圆；当m n时表示焦点在y轴上的椭圆

（2）椭圆的性质

①范围：由标准方程

xa

22

yb

22

|y| b，说明椭圆位于直线x a，y b 1知|x| a，

所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以 y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点

(x, y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以 x代替x方程不变，则曲线关于y轴

对称。若同时以 x代替x， y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令x 0，得y b，则B1(0, b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。

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同理令y 0得x a，即A1( a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在Rt OB2F2中，|OB2| b，|OF2| c，|B2F2| a，且|OF2| |B2F2| |OB2|，即c a c；

2

2

2

2

2

2

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e

ca

叫椭圆的离心率。∵a c 0，∴0 e 1，

且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b时，c 0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2 y2 a2。

2．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PF1| |PF2|| 2a）。

注意：①（*）式中是差的绝对值，在0 2a |F1F2|条件下；|PF1| |PF2| 2a时为双曲线的一支（含F2的一支）；|PF2| |PF1| 2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）；②当2a |F1F2|时，||PF1| |PF2|| 2a表示两条射线；③当2a |F1F2|时， ||PF1| |PF2|| 2a不表示任何图形；④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点，|F1F2|叫做焦距。 定义 方程

椭圆和双曲线比较：

椭 圆

|PF1| |PF2| 2a(2a |F1F2|)

xa

22

双 曲 线

||PF1| |PF2|| 2a(2a |F1F2|)

xa

22

yb

22

1

xb

22

ya

22

1

yb

22

1

ya

22

xb

22

1

F( c,0) F(0, c) 焦点

注意：如何有方程确定焦点的位置！

（2）双曲线的性质

F( c,0) F(0, c)

①范围：从标准方程

x a的外侧。即x

2

xa

2

22

yb

22

1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线

a，x a即双曲线在两条直线x a的外侧。

②对称性：双曲线

xa

22

ybxa

22

22

1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲 yb

22

线的对称轴，原点是双曲线 1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

xa

22

b

称轴是x,y轴，所以令y 0得x a，因此双曲线和x轴有两个交点A( a,0)A2(a,0)，

③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线

y

22

1的方程里，对

他们是双曲线

xa

22

yb

22

1的顶点。

令x 0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：

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线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线

xa

22

yb

22

1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a b； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y x ；（2）渐近线互相垂直

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征a b，则等轴双曲线可以设为：x2 y2 ( 0) ，当 0时交点在x轴，当 0时焦点在y轴上

⑥注意

x

2

16

y

2

9

1与

y

2

9

x

2

16

1的区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同，还

有焦点所在的坐标轴 …… 此处隐藏：8473字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……