关于对称不等式的证明

有关对称不等式的证明

四川省资阳中学 黄学文

关于对称不等式（任意互换两个字母，不等式不变）的证明，常见的方法除了有比较法，分析法，综合法，反证法外，还可以运用构造法，轮换法等方法证明，下面举列说明。 一 构造法

1、 构造函数

例1 设 0<x<1, 0<y<1, 0<z<1 求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1

证明：构造函数f(x)= x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)，整理，得f(x)=(1-y-z)x+(y+z-yz) 因为0<x<1, 0<y<1, 0<z<1，所以-1<1-y-z<1

(1) 当0<1-y-z<1时， f(x)在(0,1)上是增函数，于是 f(x)<1-yz<1；

(2) 当-1<1-y-z<0 时， f(x)在(0,1)上是减函数，于是 f(x)<f(0)=y+z-yz=1-(1-y)(1-z)<1

(3) 当1-y-z=0 ，即 y+z=1时，于是f(x)=y+z-yz=1-yz<1，所以原不等式成立。 2、 构造向量

例2 正实数a 、b 、c ，满足a+b+c=1，求

222

证:1 3a 1 3b 3c 6

223,

23)

证明：设m=(

2

3a,

2

3b, 3c), n=(

22

3,

222

则m·n=3(1 3a+ 3b+ 3c)

2 3a 1 3b 1 3c=

2

222

2·

3 3(a b c) 3a

2

222

2·

2

3

3(a b c)

3

=2

所以

3b

2

3c 6

当且仅当a=b=c=3时，等号成立。

3 构造复数

例3 设0<a<1,0<b<1,

22

a (1 b)

求证:a b++

2

2

(1 a) b

22

+

(1 a) (1 b)

22

22

证明：构造复数Z1 =a+bi Z2 =a+(1-b)i Z3 =(1-a)+bi Z4=(1-a)+(1-b)i 用复数模的性质，得左边=z1+z2+z3+z4 z1 z2 z3 z4=2 2i=22 所以原不等式成立。

二 轮换法

例4 a 、b、c R+,求证:证明：因为

12a

12b

2

12a

12b

12a

12b

12c

1a b

1b c12a

12b

1c a

2a b

1ab

2a b

所以

1

同理可得所以

12a

12b12b

12c12c

2b c1a b

,

12c1

12a

1

2c a

b cc a

a b C

所以原不等式得证。

例5 已知a、b、c R+，求证:abcab证明：设a b c,则

abab

ba

ba

abcab

(abc)

3

a a-b = 1 b

所以aabb abba

同理可得aabb bccb, ccaa caac 三式相乘，得(aabbcc)2 ab+cba+cca+b 从而得(aabbcc)3 (abc)a+b+c 所以原不等式成立。

三、换元法

x

例6 求证：y z

yz x

zx y

3

2 (其中x、y、z均为正数)

证明：设y+z=2a 、 z+x=2b 、 x+y=2c, 则x=b+c-a 、 y=c+a-b、 z=a+b-c 因为a、b、c>0,得左边=

b c a2a

c a b2b

a b c2c

(

b2a

a2b) (

c2b

b2c) (

a2c c2a)

32

1 1 1

32

右边。所以原不等式得证。

例7 已知a、b R，且a+b=1 求证: (a+2)2+(b+2)2

证明：设a=

12 t, b=12

12

t (t R)

12

252

则(a+2)2+(b+2)2=(+t+2)2+(-t+2)2=(t+)2+(t-)2=2t2+

2

2

55252

252

当且仅当t=0时，等号成立。 四 放缩法

1

例8 a、b是正实数，且a+b=1 求证:a 1

1

1b 1

1 ba 1 b

1 ab 1 a

2 a ba b 1

1b 132

32

证明: a 1

所以原不等式得证。

2