北大清华自主招生试题

2004-2013北大清华等自主招生考试数学试题

2004年名牌大学自主招生考试试题(l)

适用高校：复旦大学

一、填空题(每题8分，共80分)

1

．设x

8

1 (x42 1)(x4 ax2 1)，则.

2．已知|5x+3|+|5x 4|=7，则x的取值范围是.

x2y2

1内接矩形的周长最大值是. 3.椭圆

169

4.12只手套(左右有区别)形成6双不同的搭配,要从中取出6只正好能形成2双,有种取法． 5．已知等比数列

an 中a1=3, ，且第l项至第8项的几何平均数为9，则第3项为

6．若x2 (a 1)x a 0的所有整数解之和为27，则实数a的取值范围是(x 4)2y2x2y2

1,则 的最大值为 . 7．己知

4949

8．设x1、x2是方程x xsin9.方程z3

2

33

＋cos =0的两个实数解，那么arctanx1+ arctanx255

的非零解是.

1 x

1 x

10．方程y 2

的值域是.

二、解答题(每题15分,共120分) 1.解方程

:

2.已知sin( )

log5(x 1.

124

,sin( ) ,且 0, 0, ,求tan2 . 1352

3．已知过两抛物线C1：x＋1=(y 1)2，及C2： (y 1)2＝ 4x a+11的一个交点的两条切线互相垂直，求a的值．

4．若存在M,使任意x∈D(D为函数f(x)的定义域)，都有|f(x)|≤M．则称函数f(x)有界,函数f(x)=在x 0,

5.求证

: 1

6.已知E是棱长为a的正方体ABCD ABC111D1的棱AB的中点,求点B到平面A1EC的距离.

7.比较log2425与log2526的大小,并说明理由.

11sinxx

1 上是否有界？

2

3.

8.已知数列

an , bn 满足an 1 an 2bn,且bn 1 6an 6bn,又a1 2,b1 4,

an

.

n bn

求:(1)

an,bn,;(2)1imlim

2004年名牌大学自主招生考试试题(2)

适用高校：上海交通大学

一、填空题(每题4分,共40分)

1．已知x、y、z是作负整数,且x+y+z=10，x+2y+3z=30，则x+5y+3z的取值范围是 2．长为1的钢丝折成三段与另一墙面围成封闭矩形，则矩形面积的最大值是 .

3

．函数y 0 x 的值域是 .

2 4．已知三角形又边的长a、b、c均为正整数，且a≤b≤c，b=n，则满足条件的三角形r 的个数为5．设x2+ax+b和x2+bx+c的最大公因式为x+1，最小公倍式为x3+(c 1)x2+(b+3)x+d，则(a,b.c,d)= 6．已知

1 a

7．整数

|x|的相异实根的个数是.

818

7

2004

36 的个位数是8．已知数列{an}满足a1=l,a2=2,且an 2 3an 1 2an,则a2004.

9．在n×n的正方格中,任意取得的长方形(长方形的边与正方格的边平行或重合)是正方形的概率是 .

10．已知6 7，则 .

二、解答题(本大题共60分)

1.已知矩形的长、宽分别为a、b,现在把矩形翻折,使矩形的对顶点重合,求所得折痕的长.

2.某二项式展开式中,相邻a(a≥3,a∈N+)项的二项式系数之比为1:2:3: :a,求二项式的次数与a的值,以及各项的二项式系数.

3.已知f(x)=ax4 x3 (5 8a)x2 6x 9a ,证明: (1)恒有实数x,使f(x)=0,

(2)存在实数x，使f(x)的值恒不为0.

4.已知f1(x)=

5.对于两条垂直直线和一个椭圆,已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心的轨迹.

6．已知｛an｝是公差为6的等差数列，bn 1 an 1 an(n∈N+). (l)用a1、b1、n表示数｛an｝的通项公式；

(2)若a1＝b1=a，a∈[27,33]，求an的最小值及取最小值时n的值．

1 x

,对于一切正整数n,都有fn 1(x) f1[fn(x)], 且f36(x) f6(x),求f28(x). 1 x

2005年名牌大学自主招生考试试题(l)

适用高校：复旦大学

一、填空题(每题5分,共50分)

1．已知集合A={x|log2(x2.设数x满足x＋3．圆

＝2

x 1) 0,x R},B={x|2x 21 x 1,x R},则A ðR .

11300

= 1,则x 300 . xx

5cos 的圆心的极坐标为,其中 [0,2 ). .

n(n 1)

. 2

4．设抛物线y=2x2+2ax+a2与直线y=x+1交于A，B两点, 当|AB|最大时,a＝ . 5

．计算：n

6．化简：l+3+6＋…＋

7．一个班有20个学生，其中有3个女生，抽4个人去参观展览馆，恰好抽到l个女生的概率为. 8．写出3

1000

在十进制中的最后4位 .

9．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)+2

x 2002 =4015 x(x≠1), 则 .

f x 1

10.函数y＝

1 sinx

的最大值是 .

2 cosx

二、解答(本大题共70分)

x2y2

1.在四分之一个椭圆 1(x 0,y 0,a,b 0)上取一点P,使过点P椭圆的切线与坐标轴所成

ab

的三角形的面积最小.

2.在 ABC中,已知tanA:tanB:tanC 1:2:3,求

AC

. AB

3．在单位正方体ABCD ABC111D1中, E、F、G分别是AD、AA1、A1B1的中点,求： (l)点B到面EFG的距离；(2)二而角G EF D1的平面角 .

4

=3的实数根．

5.

已知sin cos

a(0 a,求sinn cosn 关于a的表达式.

6．设直线l与双曲线xy=l交于P、Q两点，直线l与x轴交于点A,与y轴交于点B,求证：|AP|=|BQ|.

4x

7．已知定义在R上的函数f(x)=x,S

4 2n

1 2 n 1 ,n=1,2,3 , f f f n n n

111

M? S2S3Sn 1

(1)求Sn；(2)是否存在常数M>0对，对任意n 2,有

2005年名牌大学自主招生考试试题(2)

适用高校：上海交通大学

一、填空题(每题5分，共50分)

1.已知方程x

2

px

144

=0(p R)的两根x1,x

2满足x1 x2 2,则. 22p

2.设sin8x cos8x

41

,x 0, ,则 . 128 2

n 1

1

3.已知n Z,且 1

n 1

1 2004

2004

,则4．如图，将3个12cm×12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这6部分接在一个边长为

的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图．则该多面体的体积为.

第4题图

52

x,y Q,则n 1

6．化简：2

42 62 82 1 2n 2

7，若z＝1，且z C，则z＋2z＋8．一只蚂蚁沿l×2×3立方体表面爬,从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为9. 4封不同的信放人4个写好地址的信封中,全装错的概率为，恰好只有一封信装错的率为 . 10．已知等差数列｛an｝中,a3＋a7+a11+a19=44，则a5+a9+a16＝ 二、解答题(本大题共50分)

1.已知方程x3+ax2+bx＋c＝0的三根分别为a、b、c，且a、b、c是不全为零的有理数,求a、b、c的值． 2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得 (l)最大角是最小角的两倍？ (2)最大角是最小角的三倍？

若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由．

332

ax2 8x b

3．已知函数y=的最大值为9，最小值为1．求实数a、b的值 2

x 1

4.已知月利率为y,采用等额还款方式,若本金为1万元,试推导每月等额还款金额m关于y的函数关系式(假设贷款时间为2年).

5．对于数列n,

都有an

是否存在整数r，s，t，使得对于任意正整数 an :1,3,3,3,5,5,5 …… 此处隐藏：7253字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……