专题一：求函数值域十六法

求函数值域方法

（1）、直接法：从自变量x的范围出发，推出y f(x)的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。 例1

：求函数y 例2

：求函数y

x≥

1 的值域。

1的值域。

1, 例3

：求函数y

01

1，∴函数y 1的值域为[1, )。

2

（2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如F(x) af(x) bf(x) c的函数的值域问题，均可使用配方法。例1：求函数y x 4x 2（x [ 1,1]）的值域。

222

解：y x 4x 2 (x 2) 6， ∵x [ 1,1]，∴x 2 [ 3, 1]，∴1 (x 2) 9

2

22

∴ 3 (x 2) 6 5，∴ 3 y 5∴函数y x 4x 2（x [ 1,1]）的值域为[ 3,5]。

（3）．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。 例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。 函数y在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。∴函数的值域是［0,2］ 例2;求函数y 2,x 2,2 的值域。 ,4 例3;求函数y 2x 5x 6的值域 ,

8 4

x

1

2

73

（4）、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例1：求函数y

1 21 2

xx

xx

的值域.解：由y

1 21 2

xx

解得2

x

1 y1 y

，∵2 0，∴

x

1 y1 y

0，

∴ 1 y 1∴函数y

1 21 2

的值域为y ( 1,1)。

（5）、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数y

ax bcx d

(c 0)，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，

值域为 yy

adc

a

，采用部分分式法将原函数化为 ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）

c

y

ac

b

cx d

(ad bc)，用复合函数法来求值域。

例1：求函数y

7

1 x2x 5

的值域。解：∵y

1 x2x 5

1(2x 5) 2x 5

77

1 ，

22x 5

∵

11 x1 0，∴y ，∴函数y 的值域为{y|y 。

2x 522x 52

（6）、换元法：

运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如

y ax b

a、b、c、d均为常数，且a 0）的函数常用此法求解。

例1

：求函数y 2x

t

12

54

12

t 0），则x 38

54

1 t2

2

，

∴y t2 t 1 (t

)

2

∵当t

5

，即x

时，ymax

，无最小值。

∴函数y 2x ( ,]。

4

（7）、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y) 0；通过方程有实数根，判别式 0，从而

a1x b1x c1a2x b2x c2

22

求得原函数的值域，形如y

（a1、a2不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

例1：求函数y

x x 3x x 1

2

2

的值域。解：由y

x x 3x x 1

2

2

变形得(y 1)x (y 1)x y 3 0，

2

2

当y 1时，此方程无解；当y 1时，∵x R，∴ (y 1) 4(y 1)(y 3) 0，

113

113

解得1 y ，又y 1，∴1 y ∴函数y

x x 3x x 1

2

2

的值域为{y|1 y

113

（8）、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

例1

：求函数y x

解：∵当x增大时，1 2x随x

的增大而减少，x的增大而增大，

1

∴函数y x (

,]上是增函数。∴y

2

12

12

，

∴函数y x ( ,]。

2

1

例2．求函数y x

1x

在区间x 0, 上的值域。

分析与解答：任取x1,x2 0, ，且x1 x2，则f x1 f x2

x1 x2 x1x2 1 x1x2

，因为

0 x1 x2，所以：x1 x2 0,x1x2 0，当1 x1 x2时，x1x2 1 0，则f x1 f x2 ；

当0 x1 x2 1时，x1x2 1 0，则f x1 f x2 ；而当x 1时，ymin 2 于是：函数y x

1x

在区间x 0, 上的值域为[2, )。构造相关函数，利用函数的单调性求值域。

x

x的值域。

例3：求函数f x

分析与解答：因为 相关函数g x

gmin g 1

1 x 0 1 x 0

1 x 1，而 x与 x在定义域内的单调性不一致。现构造

x

x，易知g(x)在定义域内单调增。gmax g 1

2，

2， g x

2，0 g

2

x

2，

222

又f x g x 4，所以：2 f x 4，2 f x 2。

（9）、基本不等式法

利用基本不等式a2 b2 2ab和a b 2ab(a,b 0)是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取" "成立的条件.

例1 求函数解答: y

y

x 2x 1

x 2x 1

的值域.

1x 1

x 1 2, 当且仅当x 1时" "成立. 故函数的值域为y [2, ).

此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.

例2 求函数y

x 2x 2

x 1

2

的值域.

解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解

2

出"(x 1)"项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设: (x 1)(x b) c x 2x 2,

将上面等式的左边展开, 有: x (b 1)x (b c),故而b 1 2, b c 2. 解得b 1, c 1. 从而原函数y

(x 1)(x 1) 1

x 1

2

(x 1)

1x 1

; ⅰ)当x 1时, x 1 0,

1x 1

1x 1

0, 此时y 2, 等号成立,

当且仅当x 0. ⅱ)当x 1时, (x 1) 0,

(x 1)(x 1) 1

x 1

0, 此时有

1

(x 1) 2, x 1x 1 1

y (x 1)

等号成立, 当且仅当x 2. 综上, 原函数的值域为: y ( , 2] [2, ).

利用基本不等式

，求函数的最值，其题型特征解析式是

和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例3. 求函数

的值域。

解：原函数变形为：

当且仅当

故原函数的值域为： 例4. 求函数

解：

的值域。

即当时，等号成立

当且仅当，即当

时，等号成立。

由可得：故原函数的值域为：

（10）、有界性法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。

例1：求函数y

x 1x 1

22

的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数 …… 此处隐藏：6001字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……