6(1,2)向量及其线性运算

第六章向量代数与空间解析几何 第六章向量代数与空间解析几何 向量代数与在平面解析几何中, 在平面解析几何中 曾通过坐标法把二维 几何空间中的一些图形与方程对应起来,用代 几何空间中的一些图形与方程对应起来 用代 数方法研究了几何问题. 数方法研究了几何问题 本章把这种方法运用到三维几何空间, 本章把这种方法运用到三维几何空间 讨论如下几个问题: 讨论如下几个问题 1. 向量、向量的一些运算 向量、向量的一些运算; 2. 空间中的平面与直线 空间中的平面与直线; 3. 空间中的一些曲面和曲线 空间中的一些曲面和曲线; 4. 二次曲面 二次曲面.1

第一, 第一,二2节 向量及其线性运算向量概念 向量的线性运算 向量的线性运算 空间直角坐标系 利用坐标作向量的线性运算 利用坐标作向量的线性运算 向量的模 方向角 小结 思考题 作业2

第七章 空间解析几何与向量代数

向量及其线性运算

一、向量概念 (vector)向量 既有 大小又有 方向 的量 的量. 向量表示

M2

a 或 M1 M 2

M

r a1

r 向量的大小. 向量的模 (module) 向量的大小 | a | 或 | M 1 M 2 |单位向量 模长为 的向量. a 0 或 M M 0 模长为1的向量 的向量 1 2 r 零向量 模长为 的向量 0 模长为0的向量 的向量.3

以 M 为起点 M2为终点的 有向线段 为起点, 有向线段. 1

向量及其线性运算

自由向量 不考虑起点位置的向量 不考虑起点位置的向量. 相等向量 大小相等且方向相同的向量 大小相等且方向相同的向量. 的向量

r a r b

r r 记作 a = b

r 大小相等但方向相反的向量. 负向量 大小相等但方向相反的向量 a

r a

r a4

向量及其线性运算

二、向量的线性运算1. 向量的加减法

r b

r b

r r a +b

r (1)加法定义 加法定义 a r r r 加法 a + b = c 平行四边形法则) (平行四边形法则)(平行四边形法则有时也称为三角形法则) 平行四边形法则有时也称为三角形法则) 特殊地 r a r b

r r 若 a‖ b r分为同向和反向 r ar b r r r c | c |=| a | + | b |r cr ar b

r a

r b

r r r | c |= | a | | b |5

向量及其线性运算

(2) 向量的加法符合下列运算规律 r r r r 交换律 a + b = b + a;

r r r r r r r r r 结合律 a + b + c = ( a + b ) + c = a + (b + c ); r r r a + ( a ) = 0. r r c b r (3) 减法定义 a r r r r r r 减法 a b = a + ( b) b r b c r r r r a +b r r b c = a + ( b ) r r r r r a b =a b a6

向量及其线性运算

向量的“伸缩” 向量的“伸缩” 2. 向量与数的乘法 (简称数乘运算 简称数乘运算) 简称数乘运算 r r 规定为 λ 设λ是一个数 , 向量 a与 的乘积 λa r r r r 同向, | λa |= λ | a |; λ > 0,λa与 同向 a r r λ = 0,λa = 0; r r r λ < 0, λa与 反向 | λa |=| λ | | a | . a

反向, r

r a

r 2a

1r a 2

r r 注 向量 a 与数 λ 的乘积 λ a 为向量 向量.7

向量及其线性运算

(2) 数与向量的乘积符合下列运算规律 线 r r r 性 结合律 λ ( µ a ) = µ (λ a ) = (λµ )a; r r r 运 分配律 (λ + µ )a = λ a + µ a; 第一分配律 算 r r r r λ (a + b ) = λ a + λ b . 第二分配律

r r 由向量 λ a 与a 平行 常用数乘运算说明 平行,

两向量平行关系(两向量共线的充要条件 两向量平行关系 两向量共线的充要条件): 两向量共线的充要条件 r r r r 定理1 定理 设向量 a ≠ 0, 则b∥ a 存在唯一的实数 λ , r r r使 b = λa .

a r 同方向的单位向量 单位向量. r 就是与 a 同方向的单位向量 记作 |a | r a 0 a= r |a |

向量及其线性运算

三、数轴上的向量数轴: 给定一个点,一个向量及单位长度 或说,给定一个点,一个单位向量 → r oi

uuu r r p 点P a 向量OP = xi a 实数x uuu r r x为点P的坐标 OP = xi

x

于是

向量及其线性运算

例1 设P , P2为µ 轴上坐标分别为µ1 , µ2 1

r 的任意两点, i为与µ 轴 正向一致的单位向量, 验证:

uuuu r r P P2 = ( µ2 µ1 ) i 1

向量及其线性运算

r r 互相平行,但是方向相反,则当 但是方向相反 选择题 设向量 a , b 互相平行 但是方向相反 则当r r 必有( | a |>| b |> 0 时, 必有 A ) r r r r r r r r ( A) | a + b |=| a | | b |; ( B) | a + b |>| a | | b |; r r r r r r r r (C ) | a + b |<| a | | b |; ( D ) | a + b |=| a | + | b | .下列命题是否正确 (1) 2i > j 错, 向量不能比较大小 只有模才能比较大小 向量不能比较大小, 只有模才能比较大小. r r a r 没有定义向量的除法. ( 2) a ≠ 0 时, r = 1. 错, 没有定义向量的除法 a11

向量及其线性运算

试用向量方法证明:对角线互相平分的四边 例2 试用向量方法证明 对角线互相平分的四边 形必是平行四边形. 形必是平行四边形 证 Q AM = MC

D

CM

BM = MD

A

B

∴ AD = AM + MD = MC + BM = BC结论得证. AD ∥ BC 且 AD = BC 结论得证

向量及其线性运算

r r r 为非零向量,其中任意两个向量 设 a , b , c 均为非零向量 其中任意两个向量 r r r r r r 不共线, 共线, 共线. 证明： 不共线 但 a + b 与 c 共线 b + c 与 a 共线 证明： r r r r a + b + c = 0. r r r r r r 证 a + b = λ c , b + c = µa , λ , µ 为常数 为常数. r r r r 上两式相减得： 上两式相减得：a c = λ c µa r r r r (1 + µ )a = (1 + λ )c , 而a与c 不共线.故只能1 + λ = 0, 且1 + µ = 0. r r r r 即λ = 1, µ = 1 a + b + c = 0.13

向量及其线性运算

z 竖轴

四、空间直角坐标系1.空间点的直角坐标 1.空间点的直角坐标 三个坐标轴的 正方向符合右手系 正方向符合右手系 即以右手握住 z 轴,r k

定点 O rr ij

y 纵轴

横轴 x 当右手的四个

手指 π 从正向x轴以 从正向 轴以 角度 空间直角坐标系, 空间直角坐标系 称Oxyz 2 r r r 坐标系 或 [O; i , j , k ] 坐标系 坐标系. 转向正向y 轴时, 转向正向 轴时 大 拇指的指向就是z轴 拇指的指向就是 轴 的正向. 的正向 点O叫做坐标原点 叫做坐标原点 (或原点 或原点) 或原点14

向量及其线性运算

z

yOz面 ⅢⅦ Ⅳ

zOx面 ⅡⅠO

Ⅵ

y

xOy面Ⅷx

Ⅴ

空间直角坐标系共有八个卦限 空间直角坐标系共有八个卦限15

向量及其线性运算

空间的点 ← → 有序数组 ( x , y , z )特殊点的表示: 特殊点的表示 坐标轴上的点 P , Q , R, 坐标面上的点 A, B , C , O (0,0,0)zB(0, y, z) M( x, y, z)

1 1

R(0,0, z)

O

Q(0, y,0)

y

x

P(x,0,0)

A( x, y,0)16