借助特有树建立电路的状态方程

第33卷 第1期2004年 2月

贵州工业大学学报(自然科学版)

JOURNALOFGUIZHOUUNIVERSITYOFTECHNOLOGY

(NaturalScienceEdition)

Vol.33No.1February.2004

文章编号:1009 0193(2004)03 0047 04

借助特有树建立电路的状态方程

张达敏

(贵州工业大学计算机科学与信息技术学院,贵州贵阳550003)

摘 要:分析和讨论了如何借助特有树建立电路的状态方程。将该方法应用于动态电路的分

析中,易于实现计算机对复杂电路的辅助分析。关键词:特有树;状态方程

中图分类号:TM7 文献标识码:A

0 引 言

状态变量法是电路理论中十分重要的一种电路分析方法。所谓状态变量是指用来描述系统状态的数目最小的一组独立的动态变量,其实质是反映系统内部储能状态的变化情况,它们在任何时刻的值组成了该时刻的电路状态。对状态变量所列写的一阶联立微分方程组称为电路网络的状态方程。如果已知状态变量在t0时刻的值,且已知自t0开始的外施激励,就能唯一地确定t>t0后电路的全部性状。因此,被广泛应用于动态电路的分析中。

采用状态变量法,便于实现计算机对复杂的电路的辅助分析,另外,该方法可以提供更多的电路内部信息,为研究电路内部某些物理量的变化规律带来方便,而状态变量法的关键是如何建立电路的状态方程。

对于线性、非时变的电路,一般选择电容电压uc(t)或电荷Q(t)及电感电流iL(t)或磁链 (t)为状态变量,对于不太复杂的电路,可以通过使用直接观察法建立状态方程。所谓直接观察法,就是对只接有一个电容的结点或割集列写KCL方程,对只包含一个电感的回路列写KVL方程,通过消去中间变量即可写出状态方程。对于复杂电路,使用直观法建立写出状态方程是十分困难的。这时,可借助特有树来建立电路的状态方程,将使问题得到简化。

1 常态网络状态方程的建立

个连通图G的一个树T,是G的一个连通子图,它包含G的全部结点,但不含回路。凡是属于T的支路,称为T的树支,不属于T的支路,称为连支。特有树的树支包含了电路中所有电压源支路和电容支路,它的连支包含了电路中所有电流源支路和电感支路。

当电路中不存在仅由电容和电压源支路构成的回路,或仅由电感和电流源支路构成的割集时,称电路为 常态网络!,否则称电路为 非常态网络!。

对于常态网络,持有树总是存在的。

借助特有树建立常态网络状态方程的一般步骤:

(1)对于给定的电路,画出相应的有向图,并对各支路编号(注意一条支路只含一个元件)。(2)选择特有树,取各电容和电压源支路为树支,各电流源支路和电感支路为连支。(3)选取每一电容电压uc(t)和电感电流iL(t)为状态变量。(4)对电容树支确定的基本割集列写KCL方程。(5)对电感连支确定的基本回路列写KVL方程。(6)消去中间变量,并整理成如下标准形式:

=Ax(t)+Bu(t)dt

:

48 其中:

贵 州 工 业 大 学 学 报 (自然科学版)2004年

x(t)为状态列向量,它的元素为状态变量;u(t)为输入(外加激励)列向量;

A,B为系数矩阵,由电路参数决定。应用示例:

建立如图1

所示常态网络的状态方程。

图1

(1)画出图示网络的有向图如图2所示。

(2)选择支路1、2、3、6为树支(实线),支路4、5、7为连支(虚线)。

图2

(3)选择电容C3所在树支3的电压uc3(t)及电感L4、L5所在连支4、5的电流iL4(t)、iL5(t)为状态变量。

(4)对电容树支3确定的基本割集列写KCL方程:

-C3

duc3dt

=iL4+iL5

(5)对电感连支4、5确定的基本回路列写KVL方程:

diL4

L4dt=us1-uR2+uc3diLL5dt=uR6+us1-uR2+uc3

(6)消去中间变量uR2(t)、uR6(t),并整理成标准形式。

为了消去中间变量,一般应选择除电容树支之外的单树支割集列写KCL方程;选择除感连支之外的单连支回路列写KVL方程。这样,可以把中间变量用状态变量及外加激励的线性组合来表示。

本例中的中间变量uR2(t)、uR6(t)用状态变量和外加激励表示为:

uR2=R2(iL4+iL5)uR6=R6(iL5+is7)

代入上述方程并整理成标准形式:

duc3

dtdiL4dtdiLdt

式中:

x(t)=[uc3 iL4 il5]T为状态列向量,它的元素为状态变量;t)s is7]T为输入(外加激励)列向量;

=

-C3

-C3

uC3iL4iL5

0L4L5

00R6-Lus1is7

-R2L4L4R2

-L4

-R2-

R2+R6L

5L5L5

第3期

A=

L4L5

-C3

张达敏:借助特有树建立电路的状态方程-C3

0L4L5

-00R6L5

为系数矩阵,由电路参数决定。

49

R2

-L4R2-L5

R2-L

4R2+R6-L5

2 非常态网络的状态方程的建立

当电路包含仅由电容和电压源构成的回路,或仅由电感和电流源构成的割集时

,称电路为 非常态网络!。为保证一组彼此相互独立的状态变量,可作如下处理:

(1)在含有电容和电压源构成回路的电路中,选作状态变量的电容电压的个数,应等于电路中电容的个数减去上述回路数,也就是说必须把一个电容作为连支处理,而这个电容的端电压也就不能选作状态变量。

(2)在含有电感和电流源构成割集的电路中,选作状态变量的电感电流的个数,应等于电路中电感的个数减去上述割集数,也就是说必须把一个电感作为连支处理,而这个电感的电流也就不能选作状态变量。

应用示例:

建立如图3所示非常态网络的状态方程。

图3

(1)画出图示网络的有向图如图4所示。

(2)选择支路2、3、5为树支(实线),支路1、4、6为连支(虚线)。

图4

(3)选择电容C3所在树支3的电压uC3(t)及电感L4所在连路4的电流iL4(t)为状态变量(由于C1、C3与电压源uS2构成回路,所以uC1(t)和uC3(t)只能选择一个为状态变量。)

(4)对电容树支3确定的基本割集列写KCL方程:

duc3

C3dt=i2-iL4

(5)对电感连支4确定的基本回路列写KVL方程:

L4

diL4dt

=uC3-uR5

(6)消去中间变量i2(t)、uR5(t),并整理成标准形式。

i2=-C1

duc=-C1[uS2+uC3]

dtdt

uR5=R5(iL4+iS6)

代入上述方程并整理成标准形式:

50 式中:

贵 州 工 业 大 学 学 报 (自然科学版)2004年

x(t)=[uC3 iL4]T为状态列向量,它的元素为状态变量;u(t)=

dus

dt0

A=

L4

T

iS6

为输入(外加激励)列向量;

- B=

C1C3+C10

0R5-L 为系数矩阵,由电路参数决定。

-C+C

31

5-L4

3 结束语

随着电路的规模不断增大,结构日趋复杂。要求电路方程的建立应系统化、规范化,以便于借助计算机进行电路的辅助分析。本文所讨论的借助特有树建立电路状态方程的方法简单、规范,且状态方程为矩阵形式,容易实现计算机的辅助分析。如何选择特有树,并借助特有树建立电路的状态方程,在电路分析的基础理论中具有十分重要的意义。

参考文献:

[1]邱关源.电路(第四版)[M].北京:高等教育出版社,1999.[2]李华中.电路分析基础[M].北京:冶金工业出版社,1999.

ToSetuptheCircuitStateEquationAccordingtoProperTree

ZHANGDa min

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