【新课标】备战2012年高考数学(文)二轮专题3 第2课时《不等式的

专题三 不等式

1.高考考点 理解不等式的性质及其应用；掌握两个(不扩 展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数的定理，并会简单的应用. 不等式性质及其不等式证明是高考数学的重点 内容之一，高考数学在选择题、填空题、解答题 三种题型中均有各种类型的不等式题，但单独证 明的大题出现的可能性不大，更多的是与函数、 方程、数列、解析几何等交叉、渗透命题，常出 现在压轴题中，立意新颖，综合性较强.

2.易错易漏 ①利用不等式性质时忽视对字母符号的讨论； ②使用比较法证明不等式时变形不彻底、不 熟练、不到位； ③使用基本不等式解题时忽视“一正、二定、 三相等”的要求； ④在多次连续使用基本不等式时忽视不等式 的方向以及等号是否成立.

3.归纳总结： 在解题中要分析问题的结构特征，变形、换 元是常用的方法，拼、凑、添是常用的技巧.

1.a 0,b 0,且a b 2,则( ) 1 1 A.ab B.ab 2 2 2 2 2 2 C.a b 2 D.a b 3a b 【解析】因为2 a b 2 , 2 2 2 所以a b 2,因此应选C.2 2

2.周长为60的矩形面积的最大值为( A. 225 B. 450 C. 500 D. 900

)

【解析】设矩形的长为x,宽为y,则2 x y 60, x y 2 所以x y 30,所以S xy ( ) 225, 2 当且仅当x y时取“ ”号.所以Smax 225 .

1 3 3.已知a>0,b>0,且 1,则a 2b的最小值为( ) a b A. 7 2 6 B. 2 3 C. 7 2 3 D. 14

1 【解析】解法1: (三角换元)令 cos 2 , a 1 sin 2 则a 1 ; 2 2 cos cos 3 3cos 2 令 sin 2 ,则b 3 ,将a,b 2 b sin 代入a 2b,即可得a 2b的最小值为7 2 6.

解法2: 逆代) ("1" 1 3 a 2b 1 a 2b ( ) a b 3a 2b 7 7 2 6. b a

4.(2011 陕西西工模拟)观察下列一组不等式： 23 53 22 2 2; 5 5 24 54 23 2 3 (或24 54 22 2 22 2 ); 5 5 5 5 25 55 23 2 22 3 (或25 55 2 4 24 ; 5 5 5 5) 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以 推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例.设 推广不等式的左侧为am n

b

m n

,则此推广不等式可

写为____________.(a,b 0,a b,m,n为正整数

【解析】这是一道关于不等式的类比归纳题， 运用于不等式的性质， 故应填a m n bm n a m bn a n bm .

5.已知下列不等式： ①x2+3>2x(x∈R); ②a5+b5>a3b2+a2b3(a,b∈R); ③a2+b2≥2(a-b-1). 其中正确的序号是________.

【解析】 证法如下：对于①x 3 2x x 1 2>0;2 2

对于

③a b 2 a b 1 a 1 b 1 0,2 2 2 2

对于②,有a 5 b5 a 3b 2 a 2 b3 a b a b a 2 ab b 2 2

b 2 3 2 a b a b [(a ) b ], 2 4 只有当a b 0时，才能成立.2

所以应填①、③.

1.比较法是最基本也是非常重要的方 法.作差比较法的步骤为：作差、变形、判断 差的符号，变形是手段，判断差的符号才是目 的；作商比较法的步骤：作商、变形、判断商 与1的大小.2.掌握并应用常用不等式及其变形：

1 a 2 0 (a R); 2 a 0 (a R ); 3 a 2 b2 2ab(a,b R),1 2 它的变形有a b 2 ab 2ab,a b a b , 22 2 2 2

a 2 b2 a b 2 ( ). a b 4ab, 2 2 a b ab (a 0,b 0)及其变形 4 2 b a b a 2 ab 0 , 2 ab 0 . a b a b 5 a b a b a b .2

3.以不等式为纽带，体现了各数学分支之间的交 叉和综合，尤其是对变量的范围和最大(小)值的研 究，常常用到不等式的性质以及均值定理等.

题型一 比较法和综合法证明不等式【例1】证明：a2+b2+1≥a+b+ab.【解析】解法1:a 2 b 2 1 a b ab a 2 b 1 a b 2 b 1 b 1 2 3 2 (a ) b 1 0, 2 4 所以a 2 b 2 1 a b ab. (当且仅当a 1,b 1时取等号)

解法2:因为a b 2ab,b 1 2b,1 a 2a,2 2 2 2

所以2 a 2 b 2 1 2 a b ab , 所以a 2 b2 1 a b ab. (当且仅当a 1,b 1时取等号) 解法3:a 2 b 2 1 a b ab a 2 b 1 a b 2 b 1 , 令g a a b 1 a b b 1 ,2 2

则 b 1 4 b 2 b 1 2

3b 6b 3 3 b 1 0,2 2