相似三角形经典题

相似三角形经典习题

例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．

解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似

例2 已知：如图，ABCD中，AE:EB 1:2，求 AEF与 CDF的周长的比，如果S AEF 6cm2，求S CDF．

解 ABCD是平行四边形，

∴AB//CD,AB CD，∴ AEF∽ CDF，

又AE:EB 1:2，

∴AE:CD 1:3，∴ AEF与 CDF的周长的比是1：3． 又S AEF1 ()2,S AEF 6(cm2)， S CDF3

∴S CDF 54(cm2)．

例3 如图，已知 ABD∽ ACE，求证： ABC∽ ADE．

分析 由于 ABD∽ ACE，则 BAD CAE，因此 BAC DAE，如果再进一步证明BACA ，则问题得证． ADAE

证明 ∵ ABD∽ ACE，∴ BAD CAE．

又 BAC BAD DAC，∴ DAE DAC CAE，

∴ BAC DAE．

∵ ABD∽ ACE，∴ABAC ． ADAE

ABAC ，∴ ABC∽ ADE． ADAE在 ABC和 ADE中，∵ BAC ADE,

例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？

（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似．

（3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似． 分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．

（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．

（3）正确．设有等腰直角三角形ABC和A B C ，其中 C C 90 ， 则 A A 45 , B B 45 ，

设 ABC的三边为a、b、c， A B C 的边为a 、b 、c ，

则a b,c 2a,a b ,c 2a ， ∴abca , ，∴ ABC∽ A B C ． a b c a

（4）也正确，如 ABC与 A B C 都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此 ABC∽ A B C ．

答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确．

例5 如图，D点是 ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在 ABC的边上，并且点D、点E和 ABC的一个顶点组成的小三角形与 ABC相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法．

解：

画法略．

例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．

分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即DF 60厘米 0.6米，GF 12厘米 0.12米，CE 30米，求

BC．由于 ADF∽ AEC,DFAF ，ECAC

又 ACF∽ ABC，∴DFGF ，从而可以求出BC的长．

ECBC

解 AE EC,DF//EC，∴ ADF AEC, DAF EAC，

∴ ADF∽ AEC．∴DFAF ． ECAC

又GF EC,BC EC，∴GF//BC, AFG ACB, AGF ABC，

∴ AGF∽ ABC，∴AFGFDFGF ，∴． ACBCECBC

又DF 60厘米 0.6米，GF 12厘米 0.12米，EC 30米，

∴BC 6米．

即电线杆的高为6米．

例7 如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC 1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）．

分析 根据物理学定律：光线的入射角

角，这样， BCA与 MNA的相似关系就明

解 因为等于反射确了．

BC CA,MN AN, BAC M，所以 BCA∽ MNA．

所以MN:BC AN:AC，即MN:1.6 20:1.5．

所以MN 1.6 20 1.5 21.3（m）．

说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪

器测量的麻烦．

例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．

分析 这两个图如果不是画在格点中，那是

的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长

解 在格点中DE EF,AB BC，所以

E B 90 ， 无法判断度和角度．

又EF 1,DE 2,BC 2,AB 4．所以DEEF1 ．所以 DEF∽ ABC． ABBC2

说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏． 例9 根据下列各组条件，判定 ABC和 A B C 是否相似，并说明理由：

（1）AB 3.5cm,BC 2.5cm,CA 4cm,

A B 24.5cm,B C 17.5cm,C A 28cm．

（2） A 35 , B 104 , C 44 , A 35 ．

（3）AB 3,BC 2.6, B 48 ,A B 1.5,B C 1.3, B 48 ．

解 （1）因为AB3.5cm1BC2.5cm1CA4cm1 , , ， A B 24.5cm7B C 17.5cm7C A 28cm7

所以 ABC∽ A B C ；

（2）因为 C 180 A B 41 ，两个三角形中只有 A A ，另外两个角都不相等，所以 ABC与 A B C 不相似；

（3）因为 B B ,ABBC2 ，所以 ABC相似于 A B C ． A B B C 1

例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．

解 （1） ADE∽ ABC 两角相等；

（2） ADE∽ ACB 两角相等；

（3） CDE∽ CAB 两角相等；

（4） EAB∽ ECD 两边成比例夹角相等；

（5） ABD∽ ACB 两边成比例夹角相等；

（6） ABD∽ ACB 两边成比例夹角相等．

例11 已知：如图，在 ABC中，AB AC, A 36 ,BD是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD2 DC AC．

分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，

而BD是底角的平分线，∴ CBD 36 ，则可推出 ABC∽

BCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例

关系．

证明 A 36 ,AB AC，∴ ABC C 72 ．

又 BD平分 ABC，∴ ABD CBD 36 ．

∴AD BD BC，且 ABC∽ BCD，∴BC:AB CD:BC，

∴BC2 AB CD，∴AD2 AC CD．

说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．

（2）要说明线段的乘积式ab cd，或平方式a2 bc，一般都是证明比例式，adba ，或 ，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式． cbac

例12 已知 ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的 A B C 的最大边长为26，求 A B C 的面积S．

分析 由 ABC的三边长可以判断出 ABC为直角三角形，又因为 ABC∽ A B C ，所以 A B C 也是直角三角形，那么由 A B C 的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出 A B C 的两条直角边长，再求得 A B C 的面积．

解 设 ABC的三边依次为，BC 5,AC 12,AB 13，

则 AB2 BC2 AC2，∴ C 90 ．

又∵ ABC∽ A B C ，∴ C C 90 ．

BCACAB131 ， B C A C A B 262

又BC 5,AC 12，∴B C 10,A C 24． ∴S A C B C 24 10 120．

例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高

1212

为1.5米，这样便可知道旗杆的高．

你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．

分析 判断这种方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作FG AB于G，交CE于H，可知 AGF∽ EH …… 此处隐藏：3254字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……