抓住本质 简洁求解——用二次曲线系方程解决一类解析几何问题

高中数学教与学

2 0 1 3,五

抓住本质——

简洁求解

用二次曲线系方程解决一类解析几何问题

唐一良(江苏省扬州中学， 2 2 5 0 0 9 )

圆锥曲线是高中解析几何的重点内容，主要包括圆、椭圆、双曲线、抛物线，它们也常被称为二次曲线，两条相交直线可视为二次曲线的退化情形.二次曲线方程一般形式为A 。+曰 v+C v + D+ E+F=0.

Y )=0是两条不重合的直线和一条二次曲线， 且两直线分别与曲线相交，则经过它们四个交点的二次曲线系方程为： m F (, Y )+n￡ (, Y ) L (, Y )= 0 ( m, n不同时为零 ) . 推论 2 L。 (, Y )=0, L: (, Y )= 0,

对于二次曲线系的一般方程，由圆系方程进一步可知如下结论：

L (, )=0, L 4 (, Y ):0是四条两两不重合的直线，则过与：、 L:与，、 与、, J 与。 的交点的曲线系方程为 m L . (, Y ) L, (, Y )+n : (, Y ) L (, Y )=0 ( m, n不同时为零 ) .

结论过两个二次曲线 C , C:的交点的二次曲线系可设为 C,+A C::0 .推论 1 L (, Y )=0, L: (, Y )=0, F (,

●… -●…

●… ●…

●… ●…

-●… ●…

●… ●…

●… ●… ●…

●…

●… ●… -●…

●… ●…

●… ●… ●… ●… ●…

●… ●…

●… ●…

●… ●…

●… ●… ●…

●… ●…

●… ●…

●… ●

列组合问题，通常用分类法.本题采用的是间接法，适用于反面情况明确且易于计算的情况.十一、选排问题先取后排法例 1 1 四个不同的小球放入编号为 1, 2, 3, 4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放

共有 (

) ( B ) 1 4 7种 ( D) 1 4 1种

( A ) 1 5 0种 ( C ) l 4 4种

解 l 0个点中取4个点，共有c 4 n种取法，其中同一侧面内的 6个点中任取 4个点必共面，这样的面共有 4个；又同一条棱上的 3个

法共有——种 (用数字作

答 ) . 解先从四个小球中取出两个放在一

点与对棱的中点也四点共面，共有 6个面；再各棱中点共 6个点中，取四点共面的平面有 3

起，有c:种不同的取法；再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子里，有种不同的放法.根

个.故符合条件 4个点不共面的取法共有 c 4 n一

4 C:一6—3=1 4 1 (种) .应选 D .点评在选取总数中，只有一部分符合

据分步计算原理，共有 c: A=1 4 4种不同的放法.

点评本题正确求解的关键是把四个小

条件，可从总数中减去不符合条件的个数，即为所求 .需要大家注意的是，上述所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的，对于同一

球中的两个视为一个整体，如果考虑不周，就会出现重复和遗漏的错误. 十二、部分符合条件淘汰法例l 2 四面体的顶点及各棱中点共有 1 O 个点，在其中取 4个不共面的点，不同的取法

问题有时会有多种方法，此时一定要认真

思考和分析，寻找最佳解题途径，选取最佳解题方法.

20

第 3朝

高中数学教与学直平分线 1的方程为

应用上述二次曲线系方程的观点，有些问题可以得到更为简洁的求解与证明.例说如下.

例1 ( 2 0 1 1年全国高考题 )如图 1,已知2,

y=

卜1 .

②

F为椭圆+二

=1在Y轴正半轴上的焦点，

由①、②,得

l,, l:的交点为

过点 F斜率为一√ 2的直线 z与 C交于 A, B两点，点 P满足 o P+0 A+D百=0 . ( 1 )证明：点 P在椭圆 C上；

Ⅳ ( _ 8,÷ ) .NP =

( 2 )设点 P关于点 0的对称点为 p,证明：一一

A, B, P, Q在同一圆上

8

’

A B I=V I+(一 ) I 一 。3

丁，

\1

=

,

MN

=

解 ( 1 )由条件易知，点 F ( O, 1 ),直线 l的方程为 Y=一 +1 .f一一

8’

代入+ Y=1,并化简得I= = .

4 x一2

一1=0 .

设A ( x l, Y 1 ), B ( x 2, Y 2 ), p( x 3, Y 3 ),则。+ =

2,

故 IⅣ P l=l N A 1 .由此知 A、 P、 B、 Q四点

在以Ⅳ为圆心， N A为半径的圆上.

方法 2 由( 1 )可知，直线 P Q方程为√—

Y l+Y 2=一，/ 5 ( 1+ 2 )+2= 1 . 由题意得码=一 ( + )=一 2,=

Y=0, A B方程为

+Y一1=0 .由推论 1

知，过P Q、 A B与椭圆 C交点 A、 B、 P、 Q的二次曲线为 2+ y 2— 2+A ( + Y一1 ) ( 一 y )

0,整理得( 2+ 2 A ) +( 1一 A ) y 2一 A (√Y)一 2= 0 .

Y 3=一 ( Y 1+Y 2 )=一1,

一

所以点 P的/一， A标 -为 (一 2,一 1 )

若表示圆，则 2+ 2 A .=1一 A, A=一 1,二次曲线方程为 4 。+4 y+ 一Y一6=0,此

( 2 )方法 1由 P (一 A - ,一 1 ),可得 即为 A、 B、 P、 Q所在的圆的方程.

Q (譬， 1 ) . P Q的垂直平分线 z 的方程为①

例2 ( 2 0 1 1年四川高考题 )如图 2,椭圆有两顶点 A (一1, 0 )、 B ( 1, 0 ),过其焦点 F ( 0,

1 )的直线 z与椭圆交于 C、 D两点，并与轴交于点 P .直线 A C与直线 B D交于点 Q .

设 A曰的中点为 ,则 (譬， ), A 的垂

( 1 )当l c D l=妻时，求直线l的方

21 .

高中数学教与学程；=

2 0 1 3生

( 2 )当点 P异于 A、 B两点时，求证：- - -- - -

.

( k - 1 ) .! 二墨 2 f ±生 2k+2

k

u

r疋￣,值.

又Y l Y 2= k 2 l 2+k ( 5 2 l+ 2 )+1:

:

( ±生 .异号， x+l与 k-1同号k一 1k+ l’

与

,

糍一

图2

5+ 1 2一

1

解 ( 1 )椭圆方程为+的方程为 Y=略) .

=1,直线 1+1 (过程

解得=一k .因此 Q点坐标为 (一k, Y ),

+1或 Y=一

.’ . o P‘ — O Q= (一 - 了 1, 0 ) ), (一， k y Y o o= )=, 1,

即

为定值 .

( 2 )方法 t

依题意，可设直线 l的方程为 Y=k x+1 ( k≠ 0且 k≠±1 ),所以 P点坐

方法 2 设直线 C D方程为 Y=k x+1,则

标为 (一 1, 0 ) .设 C ( 5 2。, Y ), D( 5 2 , Y: ),由( 1 )可知2 1

J P (一， 0 ),直线 A c方程为 ),= . ( + 1 ),直线B D方程为=k (一1 ) .联立方程组，得交

触标 Q ( , ),

1

一

, z 一 _=。

直线 A c的方程为 y=

( +1 ),直

故 — O Q一去方程可设为

①

由推论 2,经过 A, B, C, D四点的二次曲线), ( k x—Y+1 )+A ( l— Y+ ) (后 2— Y一

B D的方程为 y=

( 一1 ) .:

将两直线方程联立，消去，得

)=0 .与椭圆+。= 1比较系数得f 一A(。+: )=0,

因为一1< , :<1,所以一

与异1 v.

【 A( 2一k 1 )+1=0,

号.

即

妻，一

( ) :2—2 x; ( + 1 )2—2 x ( 5 2一1 ):

代人①,得- -

O-一

±

±

去 _ l (定值 )

( 1一 ) ( 1一 )+

点评通过比较可以发现，上述两个例

题的方法 2都避开了解析几何繁琐的计算，从二次曲线系方程出发进行解答，视角独特而深刻，抓住了问题的本质，故解答更简洁.

最+

■—了—+一

.

2 2.