2015-01概率统计试卷+答案

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福州大学概率论与数理统计试卷A (20150111)(3学分)

一、 单项选择(每小题3分，共18分)

1．设A B且相互独立，则( )

A. P(A) = 0

B. P(A) = 0或1 C. P(A) = 1 D. 上述都不对

2、设总体X服从正态分布N(0,4)，而X1,X2, ,X15是来自X的简单随机样本，则随机变量

2

X12 X10

，服从分布为 （ ） Y 22

2(X11 X15)

A. F分布 B. t分布 C. 2分布 D. 标准正态分布

3. 随机变量X的EX= ，D(X) 2，则由切比雪夫不等式估计P(X 2 ) （ ） A．

34

B．

1 4

C．

1 2

D． 以上都不对

4. 对于随机变量X,Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则 （ ）

A. D(XY) DX DY C. X与Y独立

B.D(X Y) DX DY D. X与Y不独立

5. 两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1)，则 ( )

11 B．P{X Y 1} 2211

C． P{X Y 0} D．P{X Y 1}

22

6. 设随机事件A与B相互独立，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，且

1

P(A) ，则P(B) ( )

4211A． B． C． D．以上都不对

343

A．P{X Y 0}

二．填空题（每空2分，共32分）

1. 某元件寿命 服从为 ( 1 1000小时)的指数分布，3个这样

的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率为 .

2. 设随机变量X的密度函数为f(x)

常数a= ；b = ；

3．估计量的三个最基本的评价标准是

ax b,

0,

110 x 1

， 又已知P{X P{X ,则

其它33

xe x(y 1)

4．设二维随机变量(X, Y)的概率密度为f(x,y)

0

x 0,y 0

，

其他

则X与Y的边缘密度分别为fX(x) ________________, fY(y) ________________， 在Y y(y 0)的条件下，X的条件密度fX|Y(x|y) ________________。

C(Rx2 y2 R2;

5. 设二维随机变量(X, Y)

的分布密度为f(x,y) 则C= ；

其它 0,

(X, Y)落入圆x2 y2 r2(0 r R)内的概率为________________

6. 一个商店每星期四进货，以备星期五、六、日3天销售，根据多周统计，这3天销

售件数 1, 2, 3彼此独立，且有如下分布：

如果进货44件，不够卖的概率是

7．设X,Y为随机变量，且D(X+Y)=7, DX=4, DY=1，则 XY。

8. 一个罐子里装有黑球和白球，有放回地取出一个容量为n的样本，其中有k个白球，求罐子里

黑球数和白球数之比R的最大似然估计量为___________。

9. 掷20颗色子，则点数之和的数学期望为

三、计算题(每小题10分，共30分)

1.假设盒内有9个产品，其正品数为0,1, ,9个是等可能的，今向内放入一个正品，然后从盒内随机取出一个产品，求它是正品的概率是多少？

2．设随机变量X~N(0,1)，求Y X 1的概率密度fY(y)。

3.设某车间有300台独立工作的车床，各台车床开工的概率都是0.6，每台车床开工时需功率1千瓦，问供电所至少要供给着车间多少功率的电，才能以99.9%的概率保证这个车间不会因为供电不足而影响生产？（用中心极限定理）（ (3.09) 0.999）

2

四、计算题(每小题10分，共20分)

e x

1. 设X服从参数为 的指数分布，概率密度为fX(x)

0

x 0

其他

试求参数 的矩估计与极大似然估计。

2．设二维随机变量（X, Y）在区域D:x2 y2 1上服从均匀分布，

求X和Y的相关系数并判别X和Y的独立性。

线 订 装 线 订 装 线 订 装

概率统计试题（20150111）参 考 答 案

一．选择题 1.D 2.A 3.A 4.B 5.B 6.B 二．填空题 1、e

3

2. ,

x 0x 0

37

3.无偏性，有效性，一致性 24

4.

e x

fX(x)

0

x 0

其它

1

fY(y) (y 1)2

0

y 0y 0

f(x,y) (1 y)2xe x(y 1)

fXY(xy)

fY(y) 0

33r22r n 1 9.70，1755.3,2(1 ) 6.0.022 7.0.5 8. R

k33R RR

三．计算题1. 设Ai：9个产品中有i个正品，i=0,1,…,9，B：任取一个是正品

9

1i 111,P(B|Ai) ,i 0,1, ,9， P(B) P(Ai)P(B|Ai) 则P(Ai) 101020i 0

2．解：Y的分布函数为FY(y) P(Y y) PX2 1 y 当y 1时，FY(y) 0；当y 1时，

FY(y) P(Y y) P( y 1 X FX(y 1) FX( y 1)

y 1

1

e2

fY(y) 2(y 1)

0

y 1)

因此

Y

的概率密度

y 1其他

3. 设X为实际开工的车床数，则X~B(300,0.6),

由中心极限定理得X近似服从N(300 0,6,300 0.6 0.4),即X~N(180,72)

设b为供电所供给着车间电的千瓦数，P(X b) (

b 180

)=0.999 ， (3.09) 0.999 72

则

b 18072

3.09，b 206.22

1 1 四 计算题1. ∵X～E( ) ∴E(X)= 矩估计： E(X)

似然函数L( )

n

e

i 1

n

xi

=

e

n

xi

i 1

n

,

n

d

故lnL nln xi,lnL n/ xi 0

d i 1i 1

n

n

n/

x

i 1

i

1/

1

,x2 y2 1

2. f(x,y)

其它 0,

fx(x)

1 x212 x2

dy

f(x,y)dy= 2 x

0

1 x 1其他

y212 y2

dx

fy(y) f(x,y)dx y2

0

E(X) dx

11

1 x2

1 y 1其他

1

x2

xdy 0

E(Y) dx

1

1

x2

1

1 x2

ydy 0

E(XY) dx

1

1

1 x2

1

x2

xydy 0，cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 0

XY 0

对任意x,y,f(x,y) fX(x) fY(y), X与Y不独立.