第四章线性离散系统的数学描述与Z传递函数分析法

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第四章 线性离散系统的Z传递函数分析法

第 4 章 线性离散系统的数学描述 及Z传递函数分析法本章主要教学内容

1. 线性离散系统的数学描述与差分方程的解 2. Z传递函数3. 离散系统的误差特性

4. 离散系统的稳定性 5. 离散系统的动态特性

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第四章 线性离散系统的Z传递函数分析法

4.1 线性离散系统的数学描述与差分方程的解 4.1.1 线性连续系统与线性离散系统

1 连续系统 输入r(t),输出y(t). 微分方程:a0 y ( n ) (t ) a1 y ( n 1) (t ) ... an 1 y (t ) an (t )

b0 r ( m) (t ) b1r ( m 1) (t ) ... bm 1r (t ) bm r (t )

( m n)

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第四章 线性离散系统的Z传递函数分析法

2 离散系统y(kT) a1 y(kT T ) ... an 1 y(kT nT T ) an y(kT nT ) b0 r (kT) b1r (kT T ) ... bm 1r (kT mT T ) bm r (kT mT )

或

y (kT) bi r (kT iT ) ai y (kT iT )i 0 i 1

m

n

3 微分方程转化为差分方程

离散化—用差分代替微分●

一阶导数(微分) y (t ) dy(t ) y (kT) y(kT T ) dt T

(后向差分)中南大学机电工程学院

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第四章 线性离散系统的Z传递函数分析法

二阶微分(导数)d 2 y (t ) y (kT) 2 y (kT T ) y (kT 2T ) 2 dt T2

●

三阶微分(导数)d 3 y (t ) y (kT) 3 y(kT T ) 3 y (kT 2T ) y(kT 3T ) 3 dt T3

●

积分

t

0

y (t )dt T y (iT ),i 1

k

k t

T ,T为采样周期

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第四章 线性离散系统的Z传递函数分析法

4.1.2 差分方程的解法 1 迭代法 2 古典法 3 Z变换法 仿照连续系统引入拉氏变换，可使求解微分方程的 微积分运算变为代数方程进行求解。对离散系统用Z 变换求解差分方程，使得求解运算变成了代数运算， 简化了计算方法。其步骤如下：

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第四章 线性离散系统的Z传递函数分析法

(1)对差分方程作Z变换(主要用到平移定理);

(2)利用输出初始条件或求出初值y(0),y(T),… 代入Z变换式； (3)整理Z变换式求出

b0 z b1 z ... bm Y ( z) ; n n 1 a0 z a1 z ... anm

m 1

y(kT) Z 1[Y ( z )] 利用长除法、部分分式法 (4)由

或留数法作Z反变换，可求出差分方程的解y(kT)。中南大学机电工程学院

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第四章 线性离散系统的Z传递函数分析法

例4.1-1 某二阶离散系统的差分方程为y(k ) 5 y(k 1) 6 y(k 2) y(k ) ,输入为单位阶跃序列 0, k 0 r (k ) ,

1, k 0

初始条件为0,求y(k). 1 2

z 【解】 Z变换：Y ( z ) 5z Y ( z ) 6 z Y ( z ) z 11 z z2 z Y ( z) 2 1 5 z 1 6 z 2 z 1 z 5 z 6 z 1 1 z z 9 z 4 2 z 1 z 2 2 z 3

Z反变换

1 9 k 1 k y(k ) 4(2) (3) (1 3k 2 ) 2k 2 2 2 2中南大学机电工程学院

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例4.1-2 已知差分方程 y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=0,

初始条件为y(0)=0,y(1)=1,求y(k). 【解】Z变换：根据超前定理，上式变为z 2Y ( z ) z 2 y(0) zy(1) 3zY ( z ) 3zy(0) 2Y ( z ) 0( z 2 3z ) y(0) zy (1) z Y ( z) 2 2 z 3z 2 z 3z 2 z z z 1 z 2

Z反变换： y(k ) ( 1) k ( 2) k ,k 0,, , 1 2 ...中南大学机电工程学院

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4.2 Z传递函数 4.2.1 Z传递函数的定义 Z传递函数也称为脉冲传递函数(pulse transferZ [ y (kT)] Y ( z ) G( z ) Z [r (kT)] R( z )

Function),

(零初始条件下)

若已知R(z)和G(z),则 y(kT) Z 1[Y ( z )] Z 1[G( z ) R( z )]

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4.1.2 Z传递函数的求法 1 由差分方程求Z传递函数y(kT) a1 y(kT T ) a2 y(kT 2T ) ... an y(kT nT )

b0 r (kT) b1r (kT T ) ... bm r (kT mT )

在零初始条件下，取Z变换Y ( z ) b0 b1 z 1 ... bm z m G( z) R( z ) 1 a1 z 1 ... an z n

系统的特征方程1 a1 z 1 a2 z 2 ... an z n 0中南大学机电工程学院

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例4.2.1 设线性离散系统的Z传递函数为0.6 z G( z ) 2 z 1.4 z 0.4

,求差分方程。

【解】

Y ( z) 0.6 z 1 G( z) R( z ) 1 1.4 z 1 0.4 z 2

(1 1.4 z 1 0.4 z 2 )Y ( z ) 0.6 z 1R( z )

y(kT) 1.4 y(kT T ) 0.4 y(kT 2T ) 0.6r (kT T )

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第四章 线性离散系统的Z传递函数分析法

2 积分环节的Z传递函数

输入输出关系传递函数

y(t ) r (t )dt0

t

Y ( s) 1 G( s) R( s ) s

y(t)采样后为y(kT),y(kT) y(kT T ) (前向矩形积分) r (kT T ) T (后向矩形积分) y (kT T ) r (kT) T 1 2 [r (kT T ) r (kT)] T (梯形积分) 中南大学机电工程学院

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第四章 线性离散系统的Z传递函数分析法

对上式分别作Z变换，整理后得Z传递函数为Y ( z) z 1 T 1 G1 ( z ) T R ( z ) 1 z 1 z 1 s s z

1T

G2 ( z )

Y ( z) 1 Tz 1 T T R( z ) 1 z 1 z 1 s s z 1Tz

Y ( z ) 1 z 1 T T z 1 1 G3 ( z ) 1 R( z ) 1 z 2 2 z 1 s s 2( z 1)

T ( z 1)

! 连续系统的积分环节G(s)中的s可以用不同的 近似方法代替，即用不同的离散实现，但 z=1 的极点相同。中南大学机电工程学院

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第四章 线性离散系统的Z传递函数分析法

3 由连续系统的传递函数G(s)求G(z) 在连续系统中，输入是单位脉冲 (t ) ,输出是单位 脉冲响应函数 h(t),则有G( s) L[h(t )] L[h(t )] L[ (t )]

在离散系统中，按定义有Z [h(kT)] G( z ) Z [h(kT)] Z [ (kT)]

( Z [ (kT)] 1)

步骤：G(s) → h(t ) L 1[G( s)] →h(kT) → G( z) …… 此处隐藏：2187字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……