一种基于胜任特征的人力资源管理系统及其实现 - 图文(5)

rx2?iFj

cov2(xi,Fj)D(Fj)D(xi)?cov2(u1iF1?u2iF2???umiFm)?j?j2?2u2?jij?j?2i?u2ji?j?2i?a2ji?2i?vij即Fj对xi方差贡献率就是Fj对xi的决定关系，由此还可以看出

aji??irxiFj。

3.3 因子分析

3.3.1 因子分析的起源及基本思想

1904年Charles Spearman 发表一篇著名论文《对智力测验得分进行统计分析》视为因子分析的起点。因子分析的形成和发展有相当长的历史，最早用于研究解决心理学和教育学方面的问题，由于计算量大，又缺少高速计算设备使因子分析的应用和发展受到很大限制，甚至停滞了很长时间。后来由于电子计算机的出现,才使因子分析的理论研究和计算问题，有了很大进展。目前 这一方法的应用范围已十分广泛，在经济学、社会学、考古学、生物学、医学、地质学以及体育科学等各个领域都取得了显著的成绩[28]。

因子分析是主成份分析的推广和发展，它也是将具有错做复杂关系的变量（或样品）综合为数量较少的几个因子，以再现原始变量与因子间的相互关系，同时，同时根据不同因子还可以对变量进行分类，它也是属于多元分析中处理降维的一种统计方法。

例如，某公司对100名招聘人员的知识和能力进行测试，出了50道题的试卷，其内容包括的面较广，但总的来讲可以归纳为六个方面：语言表达能力、逻辑思

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维能力、判断事物的敏捷和果断程度、思想修养、兴趣爱好、生活常识等，我们将每一个方面成为因子，显然这里所说的因子不同于回归分析中的因素，因为前者是比较抽象的一种概念，而后者有着极为明确的实际意义，如人口密度、产值、产量等。 设

f1,f2,?fk是多指标向量X的前k个主成分，构造如下因子模型

?x1??a11a12?a1k??f1???1??x??a?????a?a?2?2?21222k??f2???? X?????????????????????x????a??f????a?ap2pk??k??k??p??p1或

X?Af??,（4-5）

其中f1,f2,?,fk(k?p)，为X各类分量的公共因子，?i为xi的特定因子。f与

?独立。

注意到x的波动与x+b是相同的，所以可以无妨假定Ex?0,Ef此时，

?0,E??0，

Var(X)?AVar(f)A??Var(?)

由于

f是自己选择的，所以可以假定Var(f)?Ik，另一方面,各指标的 ?i是互

??120???相独立的，因此可以假定Var(?)是一个对角矩阵，???。于是有：

2??0?p????120?????AP?kAk?p????（4-6）

2??0?p???p?p注意到两边未知参数的个数，左边是

1p(p?1)个，右边是p(k?1)。因此当p2很大，k较小时k?(2,3,4)式（4-6）右端的未知数明显小于左端。所以估计问

?的秩是p，AA?的秩是k，k?题变得相对容易些。从式（4-6）还可以看出，p，

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??120???而??AA?????几乎是残余的量，也就是要找一个A使得?用AA?2??0?k??逼近时，残余的量很小，这就是一个矩阵的最小二乘逼近问题。这样就导出了因

子分析的是三种方法：主成份法，极大似然估计法，最小二乘法。

3.3.2 因子分析的求解方法

如上一节所述，因子分析的定义式如（4-5）所示，要根据观察数据

Xa?(x1a,x2a,?,xpa)?(a?1,2,?,N)求A及公共因子f,再进行具体分析。

1. 主成份法。选取前k个主成分，设相应的特征根?i，特征向量?i。对于对称阵U，存在正交矩阵T，使得

??10????U?T???T,T?(?1,?2,??n)

?0?p???亦即：

U???i?i?i?

i?1p因此，对于协方差阵

????i?i?i??i?1ki?k?1?????iiip??k?10?0? ??1???????T???T2??T2?T1?1p?k?k?pp?(p?k)??(p?k)?p?k?0?p?0?????k?10????由于?k?1??k?2+??p很小，所以T??T?2不会有大的元素，2p?(p?k)??(p?k)?p0?p???1?20???1?，就可以用AA?近似?，这就找到了A，而且也即取A?T1????1??2?1??0 23

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0???1p??

A?T1?,??，k的选择按(?1????k)/??i的指定而指定。???i?1?0??k??122. 极大似然估计法

设协方差矩阵有（4-6）式的结构，并且样本来自N(?,?)，则可通过似然方程求解，具体推倒过程从略。极大似然估计法所使用的迭代方程是：

1????AA???Lxx? n??(??1L?L??1)??1A?2n??1Axxxx??1??X, 1????。 其中Lxx?X?(In?11)???1???3. 最小二乘法

如果给定了一个矩阵?n?m，考虑用一个秩为k?min(m,n)的矩阵去近似最佳的近似是哪一个呢？最佳是把矩阵看成向量时，向量之间的距离最短。也即给定Xn?m之后，要求一个秩为k的Ym?n，要求tr(X?Y)?(X?Y)?min。这就要求矩阵的UDV分解。具体解法从略。

3.3.3 因子旋转

不论使用上述哪一种方法，我们从?阵出发，求出分解式??AA???,也即变量x与因子f有

x?Af??，

仔细观察上述两个表达式：

x?Af??,??AA???

容易看出，如果我们用AT,T是正交阵，代替上面的A，此时，

??AUU?A????AA???,它是不变的，x?AUf??就有了变化。但 若令

??T?f,A??AT,此时仍然有x?Af????,??AA?????,这就告诉我们因子分f解不是唯一的，它有无穷多个解。因此我们可以对因子做正交旋转，即将

f?Tf，T是正交矩阵，选择T使旋转后的Tf更容易得到实际解释。

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